Ⅶ-1. 삼각비

Ⅶ. 삼각비

1 삼각비의 뜻                              pp. 168

1 (1) [eqn: { 7} over { 25}]           (2) [eqn: {24} over {25}]

(3) [eqn: {7} over {24}]           (4) [eqn: {24} over {25}]

(5) [eqn: {7} over {25}]           (6) [eqn: {24} over {7}]

2 (1) 피타고라스의 정리에 의하여

[eqn: rm ` bar{AB} = sqrt {1 ^{2} +2 ^{2}} = sqrt {5}]이므로

[eqn: sinA= rm {1} over {sqrt {5}} = {sqrt {5}} over {5}] [eqn: cosA= rm {2} over {sqrt {5}} = {2 sqrt {5}} over {5}]

[eqn: tanA= rm {1} over {2}]

[eqn: sinB= rm {2} over {sqrt {5}} = {2 sqrt {5}} over {5}]

[eqn: cosB= rm {1} over {sqrt {5}} = {sqrt {5}} over {5}]

[eqn: tanB= rm {2} over {1} =2]

(2) 피타고라스의 정리에 의하여

[eqn: rm ` bar{AC}= sqrt { 10^{2}-6^{2}}= sqrt { 64}=8]이므로

[eqn: sinA= rm {6} over {10} = {3} over {5}]

[eqn: cosA= rm {8} over {10} = {4} over {5}]

[eqn: tanA= rm {6} over {8} = {3} over {4}]

[eqn: sinB= rm {8} over {10} = {4} over {5}]

[eqn: cosB= rm {6} over {10} = {3} over {5}]

[eqn: tanB= rm {8} over {6} = {4} over {3}]

말로 묻고 말로 답하기                             p. 168

[eqn: sinA= {a} over {c}], [eqn: cosA= {b} over {c}], [eqn: tanA= {a} over {b}]

2 삼각비의 값                 pp. 171~174

1 (1) [eqn: { sqrt { 2} } over { 2}]×[eqn: { sqrt { 2} } over { 2}]=[eqn: { 1} over { 2}]

(2) [eqn: LEFT ( {sqrt {3}} over {2} -{sqrt {3}} over {2} RIGHT )]×1=0×1=0

(3) [eqn: sqrt { 3}÷ { sqrt { 3} } over { 2}+ { 1} over { 2}]=2+[eqn: { 1} over { 2}]=[eqn: { 5} over { 2}]

(4) [eqn: { sqrt {3 } } over { 3}× { sqrt { 3} } over { 2}+ { 1} over { 2}]=[eqn: { 1} over { 2}+ { 1} over { 2}=1]

2 (1) cos60°=[eqn: { 5} over { x}]이므로 [eqn: { 1} over { 2}= { 5} over { x}]

∴ [eqn: x]=10

tan60°=[eqn: {y} over {5}]이므로 [eqn: sqrt { 3}= {y } over {5 }]

∴ [eqn: y]=[eqn: 5sqrt { 3}]

(2) cos45°=[eqn: {x} over {5}]이므로 [eqn: {sqrt {2}} over {2} = {x} over {5}]

[eqn: 2x=5 sqrt { 2}]   ∴ [eqn: x]=[eqn: {5 sqrt {2}} over {2}]

sin45°=[eqn: {y} over {5}]이므로 [eqn: {sqrt {2}} over {2} = {y} over {5}]

[eqn: 2y=5 sqrt { 2}]   ∴ [eqn: y]=[eqn: {5 sqrt {2}} over {2}]

(3) tan30°=[eqn: {x} over {6}]이므로 [eqn: {sqrt {3}} over {3} = {x} over {6}]

[eqn: 3x=6 sqrt { 3}]  ∴ [eqn: x]=[eqn: 2 sqrt {3}]

cos30°=[eqn: {6} over {y}]이므로 [eqn: {sqrt {3}} over {2} = {6} over {y}]

[eqn: sqrt { 3}y=12]  ∴ [eqn: y]=[eqn: { 12} over { sqrt { 3} }= 4sqrt { 3}]

(4) tan45°=[eqn: {3} over {x}]이므로 [eqn: 1= { 3} over { x}]

∴ [eqn: x]=3

sin45°=[eqn: {3} over {y}]이므로 [eqn: {sqrt {2}} over {2} = {3} over {y}]

[eqn: sqrt { 2}y=6]  ∴ [eqn: y]=[eqn: { 6} over { sqrt { 2} }= 3 sqrt {2}}]

3 (1) sin70°≒0.94

(2) cos30°≒0.87

(3) tan40°≒0.84

4 (1) 1+0=1       (2) 1×0=0

5 (1) 0.3420      (2) 0.2419

(3) 0.8098      (4) 0.9962

6 (1) 14          (2) 83

(3) 23          (4) 82

말로 묻고 말로 답하기                             p. 174

1. [eqn: sinA = bar{rmBC}], [eqn: cosA= rm bar{AC}], [eqn: tanA= rm bar{DQ}]

2. sin0°=cos90°=0

cos0°=sin90°=1

sin30°=cos60°=[eqn: {1} over {2}]

sin45°=cos45°=[eqn: {sqrt {2}} over {2}]

sin60°=cos30°=[eqn: {sqrt {3}} over {2}]

배운 내용 확인하기                                 p. 177

1 피타고라스의 정리에 의하여
[eqn: rmbar{BC}= sqrt { 17^{2}-15^{2}}= sqrt { 64}]=8(cm)

[eqn: sinA= { 8} over { 17}], [eqn: cosA= {15} over {17}], [eqn: tanA= {8} over {15}]
[eqn: sinB= {15} over {17}], [eqn: cosA= { 8} over { 17}], [eqn: tanB= {15} over {8}]

2 (1) cos30°=[eqn: {x} over {8}], [eqn: {sqrt {3}} over {2} = {x} over {8}]

2[eqn: x]=[eqn: 8 sqrt {3}]    ∴ [eqn: x]=[eqn: 4 sqrt {3}]

(2) sin45°=[eqn: {3} over {x}], [eqn: {sqrt {2}} over {2} = {3} over {x}]

[eqn: sqrt {2} x]=6    ∴ [eqn: x]=[eqn: 3 sqrt {2}]

3 (1) 0+[eqn: {sqrt {3}} over {3} TIMES {sqrt {3}} over {2} = {1} over {2}]

(2) [eqn: {1} over {2}]×1-0=[eqn: {1} over {2}]

생각 나눔터                                        p. 177

△ABC에서 [eqn: rm bar{BC}]의 길이가 [eqn: sinA]의 값이다. 예각의 범위에서 ∠A가 커지면 [eqn: rm bar{BC}]의 길이는 0에서 1까지 점점 길어지므로 사인의 값은 점점 커진다.

△ABC에서 [eqn: rm bar{AC}]의 길이가 [eqn: cosA]의 값이다. 예각의 범위에서 ∠A가 커지면 [eqn: rm bar{AC}]의 길이는 1에서 1까지 점점 짧아지므로 코사인의 값은 점점 작아진다.

△ADQ에서 [eqn: rm bar{DQ}]의 길이가 [eqn: tanA]의 값이다. 예각의 범위에서 ∠A가 커지면 [eqn: rm bar{DQ}]의 길이는 0에서 한없이 길어진다.

[eqn: rm bar{BC}]와 [eqn: rm bar{AC}]는 0에서 1까지의 범위에서 결정되어 [eqn: sinA]와 [eqn: cosA]는 1보다 클 수 없지만 [eqn: tanA]의 값은 1보다 클 수 있다. 따라서 희수와 석우가 바르게 말하였다.

Ⅶ-2. 삼각비의 활용

1 삼각비의 활용                pp. 181~185

1 미끄럼대의 높이를 [eqn: x~rmcm]라 하면

미끄럼대와 지면이 이루는 각이

[eqn: 30 DEG]일 때, [eqn: x=90sin30 DEG=45]

[eqn: 40 DEG]일 때, [eqn: x=90sin40 DEG image 57.9]

[eqn: 50 DEG]일 때, [eqn: x=90sin50 DEG image 68.9]

따라서 미끄럼대의 최대 높이는 약 68.9 cm이다.

2 점 C에서 [eqn: bar { rmOA}]에 내린 수선의 발을 H라 하면

[eqn: cos30 DEG= { bar { rmOH} } over { rm bar { OC} }]이므로

[eqn: bar { rmOH}= bar { rmOC} rmcos30 DEG]

[eqn: =40 TIMES { sqrt { 3} } over {2}]

[eqn: =20 sqrt { 3}(rmcm)]

[eqn: THEREFORE~``` bar { rmAH}= bar { rmOA}- bar { rmOH}=40-20 sqrt { 3}](cm)

따라서 진자는 A 지점보다

[eqn: (40-20 sqrt { 3})~rmcm] 더 높이 있다.

3 점 A에서 [eqn: bar { rmBC}]에 내린 수선의 발을 H라 하면 직각삼각형 ABH에서

[eqn: bar { rmAH}=60sin60 DEG=30 sqrt { 3}(rmm)]

[eqn: bar { rmBH}=60cos60 DEG=30 (rmm)]

직각삼각형 ACH에서 피타고라스의 정리에 의하여

[eqn: bar { rmAC}^2 =bar { rmAH}^2 +bar { rmCH}^2]

[eqn: =(30 sqrt { 3})^2 +100^2 =12700]

[eqn: THEREFORE~`` bar { rmAC}=10 sqrt { 127}~rmm]

따라서 두 지점 A와 C 사이의 거리는

[eqn: 10 sqrt { 127}~rmm]이다.

4 점 A에서 [eqn: bar {rmBC }]의 연장선에 내린 수선의 발을 H라 하면 직각삼각형 ACH에서

[eqn: bar { rmAH}=280sin60 DEG]

[eqn: =140 sqrt { 3}]

[eqn: image 242(rmm)]

[eqn: bar{rm CH it} =280cos60 DEG =140(rmm)]

직각삼각형 ABH에서 피타고라스의 정리에 의하여

[eqn: bar { rmAB}^2 =bar { rmAH}^2 +bar { rmBH}^2]

[eqn: =242^2 +740^2 =606164]

[eqn: THEREFORE~`` bar { rmAB}=sqrt { 606164} image779( ~rmm)]

따라서 A 지점과 B 지점 사이의 거리는 약 779 m이다.

5 점 A에서 [eqn: bar {rmBC }]의 연장선에 내린 수선의 발을 H라 하고

[eqn: bar { rmAH}=h~rmm]라 하면 △ACH에서

[eqn: tan45 DEG= { bar { rmAH} } over { bar { rmCH} }]이므로 [eqn: 1= { h} over { bar { rmCH} }]

[eqn: THEREFORE~`` bar { rmCH}=h~rmm]

△ABH에서 [eqn: tan30 DEG= { bar { rmAH} } over { bar { rmBH} }]이므로

[eqn: bar { rmBH}= { h} over {tan 30 DEG }= sqrt { 3}h(rmm)]

[eqn: bar { rmBC}= bar { rmBH}- bar { rmCH}]이므로

[eqn: 90= sqrt { 3}h-h]

[eqn: h= { 90} over { sqrt { 3}-1 }=45( sqrt { 3}+1)]

따라서 산의 높이는 [eqn: 45( sqrt { 3}+1)] m이다.

6 점 C에서 [eqn: bar { rmAB}]에 내린 수선의 발을 H라 하고

[eqn: bar { rmCH}=h~rmm]라 하면

[eqn: tan40 DEG= { bar { rmCH} } over { bar { rmAH} }]이므로

[eqn: bar { rmAH}= { h} over {tan 40 DEG }]

[eqn: tan75 DEG= { bar { rmCH} } over { bar { rmBH} }]이므로 [eqn: bar { rmBH}= { h} over {tan 75 DEG }]

[eqn: bar { rmAB}= bar { rmAH}- bar { rmBH}]이므로

[eqn: { h} over {tan 40 DEG }+{ h} over {tan 75 DEG }=100]

[eqn: h= { 100 TIMEStan40 DEG TIMEStan75 DEG } over {tan40 DEG+tan75 DEG } image68.5]

따라서 지면에서 기구까지의 높이는 약 68.5 m이다.

7 (1) [eqn: { 1} over {2 } TIMES6 TIMES10 TIMESsin60 DEG]

[eqn: ={ 1} over {2 } TIMES6 TIMES10 TIMES { sqrt { 3} } over { 2}]

[eqn: =15 sqrt { 3} }(rmcm^2 )]

(2) [eqn: { 1} over {2 } TIMES16 TIMES9 TIMESsin45 DEG]

[eqn: ={ 1} over {2 } TIMES16 TIMES9 TIMES { sqrt { 2} } over { 2}]

[eqn: =36 sqrt {2} }(rmcm^2 )]

8 (1) [eqn: { 1} over {2 } TIMES4 TIMES10 TIMESsin(180 DEG-150 DEG)]

[eqn: ={ 1} over {2 } TIMES4 TIMES10 TIMESsin30 DEG]

[eqn: ={ 1} over {2 } TIMES4 TIMES10 TIMES { 1} over {2 }]

[eqn: =10(rmcm^2 )]

(2) [eqn: { 1} over {2 } TIMES8 TIMES9 TIMESsin(180 DEG-135 DEG)]

[eqn: ={ 1} over {2 } TIMES8 TIMES9TIMESsin45 DEG]

[eqn: ={ 1} over {2 } TIMES8TIMES9 TIMES { sqrt { 2} } over {2 }]

[eqn: =18 sqrt { 2} (rmcm^2 )]

말로 묻고 말로 답하기                             p. 185

● 끼인 각이 예각일 때 삼각형의 넓이는

[eqn: { 1} over {2 }ac sin B]이다.

또, 끼인 각이 둔각일 때 삼각형의 넓이는 [eqn: { 1} over {2 }ac sin(180 DEG- B)]이다.

배운 내용 확인하기                                 p. 187

1 그림자의 길이를 [eqn: x~rmm]라 하면 [eqn: tana= { 10} over {x }]

[eqn: tan45 DEG=1]이므로 [eqn: x=10]

또, [eqn: tan60 DEG= sqrt { 3}]이므로

[eqn: sqrt { 3x}=10,~x= { 10 sqrt { 3} } over {3 }]

따라서 그림자의 길이는 태양의 고도가 45°일 때 10 m, 태양의 고도가 60°일 때 [eqn: { 10 sqrt { 3} } over {3 }~rmm]이다.

2 [eqn: bar { rmCH}=x~rmm]라 하면 [eqn: TRIANGLE rmCBH]에서

[eqn: tan45 DEG= { x} over { bar { rmBH} }]

이므로 [eqn: { x} over { bar { rmBH} }=1]  [eqn: THEREFORE~`` bar { rmBH}=x~rmm]

[eqn: TRIANGLE rmCAH]에서 [eqn: tan30 DEG= { x} over {150+x }]이므로

[eqn: { x} over {150+x }= { 1} over { sqrt { 3} }]

[eqn: sqrt { 3}x=150+x,~( sqrt { 3}-1)x=150]

[eqn: THEREFORE~``x=75( sqrt { 3}+1)]

따라서 등대의 높이는 [eqn: 75( sqrt { 3}+1)~rmm]이다.

3 (1) [eqn: { 1} over {2 } TIMES4 TIMES8 TIMESsin30 DEG]

[eqn: ={ 1} over {2 } TIMES4 TIMES8 TIMES { 1} over {2 }=8(rmcm^2 )]

(2) [eqn: { 1} over {2 } TIMES6 TIMES10 TIMESsin(180 -120)DEG]

[eqn: ={ 1} over {2 } TIMES6 TIMES10 TIMESsin60DEG]

[eqn: ={ 1} over {2 } TIMES6 TIMES10 TIMES { sqrt { 3} } over { 2}=15 sqrt { 3}(rmcm^2 )]

생각 나눔터                                        p. 187

1. 경사도가 14 %이면 [eqn: tanA= { 14} over {100 }= { 7} over {50 }]이므로

경사로의 수평 거리를 [eqn: 50a~rmm], 수직 거리를 [eqn: 7a~rmm]라 하면 피타고라스의 정리에 의하여 [eqn: (7a)^2 +(50a)^2 =700^2 ,~2549a^2 =490000]

[eqn: a^2 = { 490000} over {2549 }]

[eqn: a>0]이므로 [eqn: a= sqrt { { 490000} over {2549 } }]

따라서 수직 거리는 [eqn: 7TIMES sqrt { { 490000} over {2549 } } image97.05(rmm)]

2. 경사도가 3%이면 [eqn: tanA= { 3} over {100 }]이므로

공학용 계산기를 이용하여 tan의 값이 0.03인 각을 구하면 약 17.2°이다.

따라서 고속 국도의 경사각은 1.72°이내이다.